অনুশীলনী: 29
১. একটি লম্ব বৃত্তাকার ড্রামের ব্যাসার্ধ ৪ সেমি এবং উচ্চতা 16 সেমি। ড্রামটিতে কত লিটার জল ধরে তা নির্ণয় কর। (1 ঘন ডেসি = 1 লিটার)
২. 7 বর্গ সেমি প্রস্থচ্ছেদবিশিষ্ট 6 ডেসিমি লম্বা একটি নিরেট তামার দণ্ড গলিয়ে 2.5 ডেসিমি লম্বা এবং 1.4 ডেসিমি চওড়া একটি পাত তৈরি করা হলে, পাতটি কত পুরু হবে?
৩. 4 মিটার ব্যাসের 5 মিটার লম্বা একটি লম্বা বৃত্তাকার টানেল কাটতে গিয়ে যে পরিমাণ পাথর ও মাটি পাওয়া গেল, তা দিয়ে 48 মিটার দীর্ঘ, 16.5 মিটার প্রশস্ত এবং 4 মিটার গভীর একটি খাদের কত অংশ ভরাট করা যাবে?
৪. এক মুখ খোলা একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি পাত্রের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল 1034 বর্গ সেমি। পাত্রটির ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সেমি হলে, পাত্রটিতে কত জল ধরবে?
৫। একটি পুরু ফাঁপা চোঙাকার ধাতুনির্মিত নলের দৈর্ঘ্য 6 সেমি এবং সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল 308 বর্গ সেমি। তার বাইরের ব্যাস ৪ সেমি এবং এক ঘন সেমি ধাতুর ওজন 4 গ্রাম হলে, নলটির ওজন কত?
৬। একটি 15 মিটার উচ্চ স্তম্ভের বক্রতলটি রং করতে 82 টাকা 50 পয়সা খরচ হলো। প্রতি বর্গ মিটার রং করতে 50 পয়সা খরচ হলে তার ভূমির ব্যাসার্ধ কত?
৭। 22 ঘন সেমি রূপোকে পিটিয়ে 112 সেমি লম্বা একটি রূপোর তার তৈরি করা হলো। ঐ তারের প্রান্তীয় ব্যাসার্ধ কত?
৮। কোনো ফাঁপা লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ভূমির বাইরের ও ভিতরের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 21 সেমি ও 14 সেমি হলে উহার একটি প্রান্তের ক্ষেত্রফল কত?
৯। 1 ফুট দীর্ঘ একটি ফাঁপা নলের বাইরের দিক পর্যন্ত ব্যাসার্ধ 9 ইঞ্চি। 2 ইঞ্চি পুরু লোহা দিয়ে নলটি তৈরি করতে কত ঘন ইঞ্চি লোহা লেগেছিল?
১০। 14 সেমি ব্যাসের একটি লম্ব বৃত্তাকার গ্যাসজারে কিছু জল আছে, ঐ জলে যদি 5.6 সেমি ব্যাসের 10 সেমি লম্বা একটি নিরেট লোহার লম্ব বৃত্তাকার টুকরো সম্পূর্ণরূপে ডোবানো হয়, তবে ঐ গ্যাসজারের জলতল কতটা উপরে উঠবে?
প্রশ্নের সমাধান
প্রশ্ন ১.
একটি লম্ব বৃত্তাকার ড্রামের ব্যাসার্ধ ৪ সেমি এবং উচ্চতা 16 সেমি। ড্রামটিতে কত লিটার জল ধরে তা নির্ণয় কর। (1 ঘন ডেসি = 1 লিটার)
সমাধান:
দেওয়া তথ্য:
- ড্রামের ব্যাসার্ধ () = সেমি।
- ড্রামের উচ্চতা () = সেমি।
- ।
ড্রামের আয়তন বের করতে হবে এবং তা লিটারে রূপান্তর করতে হবে।
ধাপ ১: লম্ব বৃত্তাকার ড্রামের আয়তনের সূত্র
লম্ব বৃত্তাকার ড্রামের আয়তন () নির্ণয়ের সূত্র:
ধাপ ২: দেওয়া মানগুলো সূত্রে বসানো
ব্যাসার্ধ , তাই ।
উচ্চতা ।
।
তাহলে,
ধাপ ৩: ঘন সেমিকে ঘন ডেসিমিটারে রূপান্তর
আমরা জানি,
তাহলে,
ধাপ ৪: ঘন ডেসিমিকে লিটারে রূপান্তর
,
তাহলে,
চূড়ান্ত উত্তর:
ড্রামটিতে 0.804 লিটার জল ধরে।
প্রশ্ন ২.
7 বর্গ সেমি প্রস্থচ্ছেদবিশিষ্ট 6 ডেসিমি লম্বা একটি নিরেট তামার দণ্ড গলিয়ে 2.5 ডেসিমি লম্বা এবং 1.4 ডেসিমি চওড়া একটি পাত তৈরি করা হলে, পাতটি কত পুরু হবে?
দেওয়া তথ্য:
- দণ্ডের প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল =
- দণ্ডের লম্বা =
- ডেসিমি থেকে সেমি:
তাই, দণ্ডের লম্বা =
- পাতের দৈর্ঘ্য =
- পাতের প্রস্থ =
- পাতের পুরুত্ব = (খুঁজে বের করতে হবে)
- ডেসিমি থেকে সেমি:
তাই, দণ্ডের লম্বা =
ধাপ ১: দণ্ডের আয়তন বের করা
দণ্ডের আয়তন = প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল × লম্বা
ধাপ ২: পাতের আয়তনের সূত্র
পাতের আয়তন = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × পুরুত্ব
ধাপ ৩: আয়তন সংরক্ষণের সূত্র প্রয়োগ
দণ্ডের আয়তন = পাতের আয়তন
ধাপ ৪: পুরুত্ব এর মান বের করা
উত্তর:
পাতের পুরুত্ব হবে ।
প্রশ্ন ৩.
4 মিটার ব্যাসের 5 মিটার লম্বা একটি লম্বা বৃত্তাকার টানেল কাটতে গিয়ে যে পরিমাণ পাথর ও মাটি পাওয়া গেল, তা দিয়ে 48 মিটার দীর্ঘ, 16.5 মিটার প্রশস্ত এবং 4 মিটার গভীর একটি খাদের কত অংশ ভরাট করা যাবে?
ধাপ ১: দেওয়া তথ্য
টানেলের তথ্য:
- ব্যাস () =
তাই, ব্যাসার্ধ () =
- লম্বা () =
- টানেলের আয়তন () =
তাই, ব্যাসার্ধ () =
খাদের তথ্য:
- দৈর্ঘ্য () =
- প্রস্থ () =
- গভীরতা () =
- খাদের মোট আয়তন () =
ধাপ ২: টানেলের আয়তন বের করা
টানেলের আয়তনের সূত্র:
এখানে, এবং ।
তাই,
ধাপ ৩: খাদের আয়তন বের করা
খাদের আয়তনের সূত্র:
এখানে, , , এবং ।
তাই,
ধাপ ৪: খাদের কত অংশ ভরাট করা যাবে
টানেলের আয়তন দিয়ে খাদের পূরণ করার ভাগ (অনুপাত) বের করতে হবে:
এখানে, এবং ।
তাই,
উত্তর:
টানেল কাটার ফলে পাওয়া পাথর ও মাটি দিয়ে খাদের মোট আয়তনের প্রায় বা অংশ ভরাট করা যাবে।
প্রশ্ন
৪. এক মুখ খোলা একটি লম্ব বৃত্তাকার চোঙাকৃতি পাত্রের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল 1034 বর্গ সেমি। পাত্রটির ভূমির ব্যাসার্ধ 7 সেমি হলে, পাত্রটিতে কত জল ধরবে?
ধাপ ১: দেওয়া তথ্য
- পাত্রটির সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল () =
- ভূমির ব্যাসার্ধ () =
- পাত্রটি এক মুখ খোলা, তাই তলদেশ এবং পাশের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল:
এখানে,
- ভূমির ক্ষেত্রফল () =
- পাশের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল () = , যেখানে = পাত্রের উচ্চতা।
- ভূমির ক্ষেত্রফল () =
- পাশের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল () = , যেখানে = পাত্রের উচ্চতা।
ধাপ ২: ভূমির ক্ষেত্রফল বের করা
ধাপ ৩: পাশের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল বের করার জন্য সূত্র প্রয়োগ
ধাপ ৪: পাত্রের উচ্চতা () নির্ণয়
পাশের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের সূত্র অনুযায়ী:
তাই,
এখানে, , , এবং ।
ধাপ ৫: পাত্রের আয়তন নির্ণয়
পাত্রের আয়তনের সূত্র:
এখানে, , , এবং ।
উত্তর:
পাত্রটিতে মোট জল ধরবে।
প্রশ্ন
৫। একটি পুরু ফাঁপা চোঙাকার ধাতুনির্মিত নলের দৈর্ঘ্য 6 সেমি এবং সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল 308 বর্গ সেমি। তার বাইরের ব্যাস ৪ সেমি এবং এক ঘন সেমি ধাতুর ওজন 4 গ্রাম হলে, নলটির ওজন কত?
ধাপ ১: দেওয়া তথ্য
- নলের দৈর্ঘ্য () =
- নলের বাইরের ব্যাস () = , তাই বাইরের ব্যাসার্ধ () =
- নলের সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল () =
- এক ঘন সেমি ধাতুর ওজন =
- ভিতরের ব্যাসার্ধ () বের করতে হবে।
ধাপ ২: ফাঁপা চোঙার সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল
ফাঁপা চোঙার সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল:
এখানে,
ধাপ ৩: ভিতরের ব্যাসার্ধ () নির্ণয়
এখানে, , , , এবং ।
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ, যা সমাধান করে পাই:
ধাপ ৪: নলের ধাতুর ঘনত্বের আয়তন নির্ণয়
ফাঁপা চোঙার ঘনত্বের আয়তন:
এখানে, , , এবং ।
ধাপ ৫: নলের ওজন নির্ণয়
এক ঘন সেমি ধাতুর ওজন , তাই নলের মোট ওজন:
উত্তর:
নলটির মোট ওজন হবে (প্রায়)।
প্রশ্ন
৬। একটি 15 মিটার উচ্চ স্তম্ভের বক্রতলটি রং করতে 82 টাকা 50 পয়সা খরচ হলো। প্রতি বর্গ মিটার রং করতে 50 পয়সা খরচ হলে তার ভূমির ব্যাসার্ধ কত?
প্রশ্নটি একটি লম্ব বৃত্তাকার স্তম্ভের বক্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সমস্যা। এখানে, রং করার খরচ এবং প্রতি বর্গ মিটারের রঙের খরচ ব্যবহার করে বক্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে এবং তা থেকে স্তম্ভের ভূমির ব্যাসার্ধ বের করতে হবে।
ধাপ ১: দেওয়া তথ্য
- স্তম্ভের উচ্চতা () =
- মোট রং করার খরচ =
- প্রতি বর্গ মিটার রঙের খরচ =
- বক্রতলের ক্ষেত্রফলের জন্য সূত্র:
এখানে, = ভূমির ব্যাসার্ধ।
ধাপ ২: বক্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয়
মোট রঙের খরচ থেকে বক্রতলের ক্ষেত্রফল বের করা যাক।
ধাপ ৩: ভূমির ব্যাসার্ধ নির্ণয়
বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সূত্র অনুযায়ী:
এখানে, , , এবং ।
উত্তর:
স্তম্ভটির ভূমির ব্যাসার্ধ হবে ।
প্রশ্ন
৭। 22 ঘন সেমি রূপোকে পিটিয়ে 112 সেমি লম্বা একটি রূপোর তার তৈরি করা হলো। ঐ তারের প্রান্তীয় ব্যাসার্ধ কত?
প্রশ্নটি একটি রূপোর তারের প্রান্তীয় ব্যাসার্ধ নির্ণয়ের সমস্যা। এখানে, রূপোর তারকে একটি লম্ব বৃত্তাকার নলের মতো ধরা হবে। রূপোর ঘনত্ব অপরিবর্তিত থাকবে, তাই ঘনত্বের সূত্র দিয়ে ব্যাসার্ধ নির্ণয় করা সম্ভব।
ধাপ ১: দেওয়া তথ্য
- রূপোর মোট আয়তন () =
- তারের দৈর্ঘ্য () =
- তারটি একটি লম্ব বৃত্তাকার নলের মতো, যার ভিত্তির ক্ষেত্রফল হলো , এবং এর আয়তন:
এখানে, = তারের প্রান্তীয় ব্যাসার্ধ।
ধাপ ২: সূত্র প্রয়োগ করে ব্যাসার্ধ নির্ণয়
আয়তনের সূত্র অনুযায়ী:
এখানে, , , এবং ।
উত্তর:
রূপোর তারের প্রান্তীয় ব্যাসার্ধ হবে ।
প্রশ্ন
৮। কোনো ফাঁপা লম্ব বৃত্তাকার চোঙের ভূমির বাইরের ও ভিতরের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 21 সেমি ও 14 সেমি হলে উহার একটি প্রান্তের ক্ষেত্রফল কত?
প্রশ্নটি একটি ফাঁপা লম্ব বৃত্তাকার চোঙের প্রান্তের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সমস্যা। ফাঁপা চোঙের ক্ষেত্রফল বের করতে বাইরের এবং ভিতরের বৃত্তের ক্ষেত্রফল পার্থক্য বের করতে হবে।
ধাপ ১: দেওয়া তথ্য
- বাইরের ব্যাসার্ধ () = 21 সেমি
- ভিতরের ব্যাসার্ধ () = 14 সেমি
ফাঁপা চোঙের প্রান্তের ক্ষেত্রফল বের করার জন্য, বাইরের বৃত্তের ক্ষেত্রফল এবং ভিতরের বৃত্তের ক্ষেত্রফলকে বিয়োগ করতে হবে।
ধাপ ২: ক্ষেত্রফল নির্ণয়
ফাঁপা চোঙের প্রান্তের ক্ষেত্রফল:
এখানে, এবং ।
উত্তর:
ফাঁপা লম্ব বৃত্তাকার চোঙের প্রান্তের ক্ষেত্রফল হবে (প্রায়)।
প্রশ্ন
৯। 1 ফুট দীর্ঘ একটি ফাঁপা নলের বাইরের দিক পর্যন্ত ব্যাসার্ধ 9 ইঞ্চি। 2 ইঞ্চি পুরু লোহা দিয়ে নলটি তৈরি করতে কত ঘন ইঞ্চি লোহা লেগেছিল?
প্রশ্নটি একটি ফাঁপা নলের আয়তন নির্ণয়ের সমস্যা, যেখানে বাইরের এবং ভিতরের ব্যাসার্ধ দিয়ে নলের তৈরি হওয়া লোহার পরিমাণ বের করতে হবে। এখানে, ফাঁপা নলটির বাইরের ব্যাসার্ধ, ভিতরের ব্যাসার্ধ, এবং দৈর্ঘ্য দেওয়া রয়েছে। আমরা বাইরের এবং ভিতরের নলটির আয়তন পার্থক্য বের করে লোহার পরিমাণ নির্ণয় করব।
ধাপ ১: দেওয়া তথ্য
- নলের দৈর্ঘ্য () = 1 ফুট = 12 ইঞ্চি
- বাইরের ব্যাসার্ধ () = 9 ইঞ্চি
- ভিতরের ব্যাসার্ধ () = 9 - 2 = 7 ইঞ্চি (কারণ নলটি 2 ইঞ্চি পুরু)
ধাপ ২: নলের বাইরের এবং ভিতরের আয়তন বের করা
ফাঁপা নলের আয়তন বের করার জন্য, বাইরের আয়তন থেকে ভিতরের আয়তন বিয়োগ করতে হবে। নলের আয়তনের সূত্র হচ্ছে:
এখানে, , , এবং ।
উত্তর:
ফাঁপা নলটি তৈরি করতে 1207.38 ঘন ইঞ্চি লোহা প্রয়োজন।
প্রশ্ন
১০। 14 সেমি ব্যাসের একটি লম্ব বৃত্তাকার গ্যাসজারে কিছু জল আছে, ঐ জলে যদি 5.6 সেমি ব্যাসের 10 সেমি লম্বা একটি নিরেট লোহার লম্ব বৃত্তাকার টুকরো সম্পূর্ণরূপে ডোবানো হয়, তবে ঐ গ্যাসজারের জলতল কতটা উপরে উঠবে?
এই প্রশ্নটি একটি বস্তুর জলভাগের পরিমাণ নির্ণয়ের সমস্যা। এখানে, লোহার লম্ব বৃত্তাকার টুকরোটি জলে ডোবানোর ফলে গ্যাসজারের জলতল কতটা উপরে উঠবে, তা বের করতে হবে। এর জন্য, আমরা লোহার টুকরোর আয়তন বের করে তা গ্যাসজারের বৃত্তাকার তলের ক্ষেত্রফলে ভাগ করব, যাতে জলতলের উচ্চতা পাওয়া যায়।
ধাপ ১: দেওয়া তথ্য
- গ্যাসজারের ব্যাস = 14 সেমি
- গ্যাসজারের রেডিয়াস
- লোহার টুকরোর ব্যাস = 5.6 সেমি
- লোহার টুকরোর রেডিয়াস
- লোহার টুকরোর দৈর্ঘ্য = 10 সেমি
ধাপ ২: লোহার টুকরোর আয়তন নির্ণয়
লোহার টুকরোটি একটি লম্ব বৃত্তাকার সিলিন্ডারের আকারে রয়েছে, যার আয়তন বের করার সূত্র হলো:
এখানে, এবং ।
ধাপ ৩: গ্যাসজারের জলতল কতটা উপরে উঠবে তা নির্ণয়
গ্যাসজারের জলতল উঠানোর জন্য, লোহার টুকরোর আয়তনের পরিমাণে জল উঠবে। গ্যাসজারের তল একটি বৃত্তাকার ক্ষেত্র, এবং তার ক্ষেত্রফল হবে:
এখানে, ।
এখন, জলতল কতটা উপরে উঠবে তা বের করতে, লোহার টুকরোর আয়তনকে গ্যাসজারের তল ক্ষেত্রফলে ভাগ করতে হবে:
উত্তর:
গ্যাসজারের জলতল প্রায় 1.6 সেমি উপরে উঠবে।
0 Comments